《概率知识优秀9篇》

为保证活动高起点、高质量、高水平开展，常常需要提前进行细致的活动方案准备工作，活动方案是阐明活动时间，地点，目的，预期效果，预算及活动方法等的书面计划。怎样写活动方案才更能起到其作用呢？

概率论论文范文 篇1

1、学生基础知识层次差异性大民族高校教育的目的就是为民族地区服务和培养少数民族人才。由于民族高校招收学生的生源大多是我国少数民族聚居区域的民族生或者是发达地区的少数民族学生，由于教育资源和教育整体水平的不均衡，使得民族高校学生的基础知识掌握程度上有较大的差异，同时进入大学后，由于概率统计课程特点，它对学生的数学知识基础有着较高的要求，故在知识的延续和递进中使得学生在这门课程的学习效果上有着明显差异，在课堂教学中最明显的特征就是由于学习基础的差异，学生在知识的掌握上层次差异性明显较大。

2、课程教学方式单一目前在民族高校的概率统计课程的教学方式大部分还是使用黑板讲授加电子讲稿、教学内容比较传统，比较注重数学原理的推证、数学计算方法的讲授，即使有个别学校在概率统计课堂教学中有融入实验教学内容，但也仅仅限于数据分析软件的使用，并没有将实际经济问题案例与数学知识、数据分析软件结合起来综合应用，概率统计知识的综合应用性并没有体现出来。教学方式还是以教师为主导，教师布置问题和作业，学生完成作业的传统被动方式。

3、教学内容与学时的矛盾概率统计课程作为经管类专业学生必修的一门经济数学课程，它有着数学课程的典型特点，非常注重逻辑的严密性、知识的递进性，推导证明的完整性，因此在课堂教学中要把本科教学内容中所有内容都要设计到，还要保证大部分学生都能把知识点理解和掌握，又存在学时的限制。

4、实验教学体系缺乏虽然实验教学在我国一些重点高校教育中已引入，但整体都还是实践阶段，目前关于大学数学课程实验的教材也有一些，大学数学实验课程也产生了良好的教学效果，但在民族高校中，经管类专业的数学课程的实验教学环节缺乏，还没有形成实验教学体系。

二、民族高校经管类专业概率统计课程引进实验教学的意义

概率论与数理统计课程是经济数学课程中实践性最强的一门课程，是经济管理类本科专业学生在后续经济、管理类专业课程中保障性最强的一门课程，是进行后续经济研究的必备工具。目前国外数学课程中引入实验教学法已经取得了良好的成效，国内重点高校的部分院校经管类专业的数学课程也在通过探索实验教学的内容和方法，也取得了良好的成效。我国民族高校经管类专业的概率统计课程教学中也可逐步引入经济数学实验教学方式和教学内容，可以有以下作用：

1、增强经管类学生学习概率统计的兴趣和积极性，提高该课程的学习效果和数学知识的应用能力；

2、介绍常用的试验工具和软件，深化学生使用计算机数据分析软件的程度，丰富和优化了概率统计课程的教学内容；

3、借助数据分析软件、数学软件，增强学生利用所学的概率统计知识对经济现象、经济规律的理解和应用能力，尤其是在学年论文、毕业论文写作过程实证分析能力的提高有着明显的促进作用；

4、引入经济实验教学方式，弥补了传统概率论与数理统计课程理论性强而实践环节较弱的状况。

5、这种经济数学实验教学方式和传统讲授方式相结合的教学模式的探索和实践，不仅可以逐步改善民族高校经管类专业经济数学课程在学习中的“不好学、不善用”的现象，还可以丰富该课程的教学内容和教学方式，并且对于微积分、线性代数课程的教学方式和教学内容的改革也有很强的启示性。对深化课程的教学内容和教学方式改革，促进高校精品课建设和质量工程的发展，提高专业的优势竞争力具有着重要的意义。

三、民族高校经管类专业概率统计课程实验教学的思考与探索

1、概率统计课程实验教学方式的思考针对目前民族高校经管类专业在概率统计课程学习中呈现的情形：（1）概率统计课程教学显现出的教学内容传统、教学方式单一呆板、轻经济应用；（2）经管类学生不知概率统计知识学了何用，学了不用、学了不知怎么用。本文探索和尝试在经济数学课程之一——概率论与数理统计课程的教学中引入经济数学实验教学方式和实验教学内容，结合传统讲授方式，探索多元化的经济数学教学方式，丰富概率统计课程的教学内容，增加概率论与数理统计课程的实践性和演示性，提高经济管理类学生学习经济数学的兴趣，学生使用经济数学知识解决实际经济问题的能力。通过调查，在民族高校经管类专业的“概率统计”课程大多是周3课时以内，本门课程所修的总课时数为48课时以内，在目前的教学内容和教学方式下，受专业培养方案的限制，并且也无成熟的适合经管类专业的概率统计实验教材，无法设立单独的概率统计实验课程。因此，可在目前的概率统计教学内容中融入实验教学内容和方式，在课程内容的部分章节中结合经济、金融、管理实际问题，形成概率统计课程综合案例，在课堂教学中融入综合案例，介绍它的解决思路，培养学生数学思维品质，数学方法的应用，在掌握数学方法和原理的基础上结合数据分析软件，简化处理过程，锻炼和培养经管类专业学生让其能够知其何用，知其怎么用。经济数学的其它课程总，在内容、方法比较成熟的条件下，可以再单独设立适合民族院校的经济数学实验课程。

2、概率统计课程实验教学方式的实践可结合相关章节内容特点，周期性的给学生布置概率统计的验证性的实验项目和综合案例实验报告，小组形式完成验证性的实验报告分析和经济实例的实验报告分析。让学生在问题情境下体验概率统计数学知识的理论、计算机技术的使用及应用概率统计知识和解决简单经济实际问题能力。在有限的学时下，课堂教学中补充了实验教学内容，会使的教学内容课时较紧张，因此，建议概率统计的知识点的讲授上可以忽略一部分非重点的知识的逻辑推证，转为数据分析软件和经济实例数学化思想的讲解，如在概率统计随机变量的分布特征这一章结合均值和方差的概念计算知识点，可以补充金融学、寿险精算课程中简单金融实例；在讲协方差和相关系数时可以结合管理学、金融风险中的实例，让学生理解实际问题如何数学化，如何将数学知识、数学结果反馈到实际问题中去，在大数定律这一章，可以结合寿险精算中保费的计算案例及精算起源特点的综合案例让学生深入思考大数定律的结论，从而把抽象理论具体化、应用化。通过这样的实验教学环节的补充和实践，让学生进入实际问题情景，引导学生思考、分析实际问题如何数学化，数学知识是怎么用，大大激发了学生的学习兴趣，可以较好地体现了在课堂教学中以学生为主体的教学方式，逐步转化传统教学方式。通过笔者近两年在教学过程中的实践，在概率统计课程中融入实验教学内容，需要做到以下几点：（1）结合概率统计内容及与经济问题的联系性选择概率统计实验教学的内容及案例。（2）结合已有资料，与信息技术老师、实验室老师沟通在实验室里配备合适的数据软件如Matlab及Excel数据分析软件包、Spss数据分析软件。在这一步可结合各民族学校学生的整体层次进行选择，由于课时的限制，对经管类学生使用软件以熟练应用数据分析软件解决实际问题能力为主，使用计算软件为辅。因此笔者在实验教学中选择了Matlab和Excel数据分析软件包。学生反映效果也较好。（3）讲授理论教学时也建议在多媒体教室中，理论教学中可以融入一部分计算机数据分析的实现过程，让学生直观的认识数学知识的应用。

四、民族高校经管类专业概率统计课程实验教学的瓶颈

1、部分学生不注重理论知识的学习，过分依赖数据分析软件在概率统计教学中引入了实验教学的内容，激发一大部分同学的学习数学的积极性，学习效果也比较明显，通过数据分析软件的使用，提高了学习的效率，使得数学知识的应用性较强。但在实验教学中也发现一部分学生在学习中产生了依赖思想，认为反正有软件，对概率统计知识的具体的计算方法和原理很忽视，以后会不会都可以靠数据分析软件求出结果来。因此也伴生了这种不注重数学理论、数学计算知识的学习，过分依赖数据分析软件的现象了。

2、实验教学师资队伍缺乏在概率统计教学中融入实验教学的内容，这就使得承担概率统计课程的老师不仅要熟练掌握数学原理和方法、数学的体系框架，还要具备熟悉操作多种数据分析软件的能力，不仅如此，在课堂教学中结合综合经济案例来给学生引导，还需具备一定的经济、金融、管理专业的相关知识，这就对承担概率统计课程的教师提出更高的要求，需要数学老师必须向复合型的专业数学老师转变。而目前在民族院校中承担这一基础课程的老师普遍教学任务较重，师资紧张，典型现象就是教师忙于代课，对专业知识和计算机软件操作的提高和学习上缺乏时间和精力，复合型的课程实验教学人才和师资紧缺。

3、教学内容和实验内容的取舍在现有的培养方案和教学内容既定的情况下，要想在有限课时中完成教学内容和实验教学补充的内容，只能将已有的教学内容中的部分知识点简化了，如何合理安排概率统计课程的数学原理、数学方法的讲授、实验教学内容的补充，需要在教学实践中适当的取舍，这也是目前制约概率统计课程教学方式探索和实践的一个重要因素。

五、民族高校经管类专业概率统计课程实施实验教学的建议

以上的教学方法的探索，已经在实践中有了一定的效果，对于培养学生的创新意识、动手能力、激发学生学习概率统计知识、数学思维品质的养成、数学知识的应用有着重要的作用和意义。

1、加大对概率统计课程复合型师资队伍的培训和建设在概率统计课程教学方式多元化的探索过程中，要求老师具备以下：数学知识的积淀、计算机操作水平的适时变化、经济类及相关专业知识的积累及数学化能力，这都对概率统计课程的老师提出了更高的要求。因此要想加快民族高校经管类专业概率统计实验教学的进程，必须要加大对课程复合型师资人才的培养、培训和队伍的建设。

2、课程考核方式多元化由于在课程内容中充实了实验教学内容，所以学生的概率统计作业不仅仅是传统的数学习题的计算及推证，还需要学生通过小组的形式完成一些验证型实验报告、综合型经济实例报告的分析。对概率统计课程的考核方式也应该随之改变，加大小组报告成绩、平时考核比重，通过多元化的考核方式全面考察学生的数学学习的能力、创新素质的具备、数学知识应用性的能力。

概率论论文 篇2

1.教学课堂中注重实例的讲解

概率论以及数学统计这门课程具有较强的实践性，因此，在教学课程上，教师需要在教学的基本内容中加入更多的实例教学，帮助学生理解这门学科的基本知识点，加深学生对基本理论的记忆。例如：在讲概率学中最基本的加法公式时，加入数学建模的基本思想，利用俗语“三个臭皮匠”的相关内� 俗语中有三个臭皮匠的想法能够比的上一个诸葛亮，意思就是说多个人共同合作的效果比较大，可以将这种实际中的问题引入到数学概率论的教学中，从科学的概率论中证明这种想法是否正确。首先需要根据具体的问题建立相应的数学模型，想要证明三个臭皮匠能否胜过诸葛亮，这个问题主要是讨论多个人与一个人在解决问题的能力上是否存在较大的差别，在概率论中计算解决问题的概率。用c表示问题中诸葛亮解决问题的能力，ai表示其中（ii=1，2，3）个臭皮匠解决问题的能力，每一个臭皮匠单独解决问题存在的概率是P（a1）=0.45，P（a2）=0.6，P（a3）=0.45，诸葛亮解决问题存在的概率是P（c）=0.9，事件b表示顺利解决问题，那么诸葛亮顺利解决问题的概率P（b）=P（c）=0.9，三个臭皮匠能够顺利解决问题的概率是P（b）=P（a1）+P（a2）+P（a3）。按照概率论中的基本加法公式得P（b）=P（a1+a2+a3）=P（a1）+P（a2）+P（a3）-P（a1a2）-P（a2a3）-P（a1a3）+P（a1a2a3）解得P（b）=0.901。因此，得出结论三个臭皮匠顺利解决问题存在的准确概率大于90%，这种概率大于诸葛亮独自顺利解决问题的概率，提出的问题被证实。在解决这一问题过程中，大部分学生都能够在数学建模找到学习的乐趣，在轻松的课堂氛围中学到了基本的概率学知识。这种教学方式更贴近学生的生活，有效的提高了学生学习概率论以及数学统计这一课程的兴趣，培养学生积极主动的学习。

2.课设数学教学的实验课

一般情况下，数学的实验课程都需要结合数学建模的基本思想，将各种数学软件作为教学的平台，模拟相应的实验环境。随着科学技术的不断发展，计算机软件应用到教学中已经越来越普遍，一般概率论以及数学统计中的计算都可以利用先进的计算机软件进行计算。教学中经常使用的教学软件有SPSS以及MABTE等，对于一些数据量非常大的教学案例，比如数据模拟技术等问题，都能够利用各种软件进行准确的处理。在数学实验的教学课程中，学生能够真实的体会到数学建模的整个过程，提高学生的实际应用能力，促进学生自发的主动探索概率论以及数学统计的相关知识内容。通过专业软件的学习和应用，增强学生实际动手以及解决问题的能力。

3.利用新的教学方法

传统数学说教式的教学方法并不能取得较高的教学效果，这种传统的教学也已经无法满足现代教学的基本要求。在概率论以及数学统计的教学中融入数学建模的基本思想并采用新的教学方法，能够有效的提高课堂教学效果。将讲述教学与课堂讨论相互结合，在讲述基本概念时穿插各种讨论的环节，能够激发学生主动思考。启发式教学法，通过已经掌握的知识对新的知识内容进行启发，引导学生发现问题解决问题，自觉探索新的知识。案例教学法，实践教学证明，这也是在概率论中融入数学建模基本思想最有效的教学方法。在学习新的知识概念时，首先引入适当的教学案例，并且，案例的选择要新颖具有针对性，从浅到深，教学的内容从具体到抽象，对学生起到良好的启发作用。学生在学习的过程中改变了以往被动学习的状态，开始主动探索，案例的教学贴近学生的生活学生更容易接受。这种教学方法加深了学生对概率论相关知识的理解，发散思维，并利用概率论以及数学统计的基本内容解决现实中的实际问题，激发了学生的学习兴趣，同时提高了学生解决实际问题的综合能力。在运用各种新的教学方法时，应该更加注重学生的参与性，只有参与到教学活动中，才能够真正理解知识的内涵。

4.有效的学习方式

对于概率论以及数学统计的相关内容在教学的过程中不能只是照本宣科，而数学建模的基本思想并没有固定不变的模式，需要多种技能的相互结合，综合利用。在实际的教学中，教师不应该一味的参照课本的内容进行教学，而是引导学生学会走出课本自主解决现实中的各种问题，鼓励学生查阅相关的资料背景，提高学生自主学习的能力。在教学前，教师首先补充一些启发式的数学知识，传授教学中新的观念以及新的学习方法，拓展学生的知识面。在进行课后的习题练习时，教师需要适当的引入一部分条件并不充分的问题，改变以往课后训练的模式，注重培养学生自己动手，自己思考，在得到基本数据后，建立数学模型的能力。还可以在教学中加入专题讨论的内容，鼓励学生能够勇敢的表达自己的想法和见解，促进学生之间的讨论和交流。改变以往教师传授知识，学生被动接受的学习方式，学会自主学习，自主探究，勇于提出自己的看法并通过理论知识的学习验证自己的想法。有效的学习方式能够调动学生学习的积极性，加深对知识的理解。

5.将数学建模的基本思想融入课后习题中

课后作业的练习是巩固课堂所学知识的重要环节，也是教学内容中不可忽视的过程。概率论统计课程内容具有较强的实用性，针对这一特点，在教学中组织学生更多的参与各种社会实践活动，重在实际应用所学的知识。对于课后习题的布置，可以将数学建模的思想融入其中，并让这种思想真正的解决现实中的各种问题，在实践中学会应用，不仅能够巩固课堂学到的理论知识，还能够提高学生的实践能力。例如：课后的习题可以布置为测量男女同学的身高，并用概率统计学的相关知识分析身高存在的各种差异，或者是分析中午不同时间段食堂的拥挤程度，根据实际情况提出解决方案，或者是分析某种水果具体的销售情况与季节变化存在的内在关系等。在解决课后习题时，学生可以进行分组，利用团队的合作共同完成作业的任务，通过实践活动完成训练。在学生完成作业的过程中，不仅领会到了数学建模的基本思想，还能够将概率统计的相关知识应用到实际的问题中，并通过科学的统计和分析解决实际问题，培养了学生自主探究以及实际操作的综合能力。

二、总结

综上所述，将数学建模的基本思想融入到概率统计教学中，有效的提高了学生学习数学的兴趣，有利于培养学生利用所学的课本知识解决现实问题的能力。随着信息时代的不断发展，随机想象的相关理论知识逐渐被广泛应用，概率论以及数学统计课程的学习也变得越来越实用，在概率统计中加入数学建模的基本思想，让学生充分体会到概率统计具有的实用性，并加深对基本概念的理解和记忆。随着教学内容的不断改革，这种教学方式也在实践中不断的完善，将概率统计的教学内容与实际生活相互联系，培养学生解决问题的能力。

概率论论文范文 篇3

[关键词]概率论；教学改进；文科院校；管理类专业

[DOI]1013939/jcomkizgsc201519262

1概率论课程教学存在的问题分析

11教学目的不明确，学生学习动力不足

众所周知，概率论课程一直以来都是管理类专业学生的必修课程或者是限选课程，但为什么管理类专业一定要开这门课程，学生却不太清楚。根据笔者对自己所教授的会计学、市场营销两个专业近200名学生的统计发现，除了少部分学生很清楚或比较清楚本专业为什么要学习概率论课程，大部分的学生都只是大概知道或者不清楚。由此导致学生对于概率论课程的学习动力，主要体现在部分学生是为了计划出国或者准备考研，部分学生是为了尽量不挂科，而真正认为概率论课程对于本专业的专业知识学习有帮助的学生相对较少。

12与专业课知识联系不紧密，学生无法很好理解

对于文科学生而言，并不特别擅长数学课程里的较为严密的逻辑推导过程，如果学生并不清楚学习概率论知识对于自身专业课程的作用，就会更加排斥数学的理论推导过程，从而无法很好学习概率论知识的情况。通过调研发现，仅有少部分学生通过认真学习之后认为概率论知识有作用，且基本上为理科学生；大部分文科学生表示虽然认真学习了但不知道到底有什么用，在课堂上会体现出虽然在认真听教师讲课，但难以理解其中的知识点或者听起来相当吃力；更有部分学生表示没兴趣去该课程，不知道学了有什么用，上课的时候也不知道老师在讲什么。所有这些现象的根本原因，还是在于学生对于本专业为什么学习概率论课程并不了解，也不知道概率论课程学习之后对本专业的专业课程有何帮助。

13教师教学风格不同，学生难以适应

学校在安排课程的时候，会考虑到多方面的因素采取尽量合理的方式去安排任课老师，但是这也导致学生难以适应不同教师的上课风格。通过对学生的调研，大部分学生认为高等数学和线性代数的学习情况对概率论课程的学习产生一定的影响，然而当任课老师发生变化之后，学生认为比较难以快速适应不同教师的教学风格，从而在最基础的阶段会出现难以进入学习状态的困难。此外，尽管有相同的教学大纲，但不同教师在教学过程中可能采用不同的方式，例如有的老师会在某些知识点上进行回顾和发散，有的老师则针对性较强只关注教学大纲的知识点，一旦学生通过不同专业同学的渠道了解到不完全一样的知识体系并觉得其他任课教师的教学风格更好的时候，就会加重学生对自己任课教师教学风格的不适应，从而无法学好相关的知识。

2解决概率论课程教学中存在问题的对策

21明确概率论课程教学目的，提高学生的学习动力

明确教学目的，是概率论课程教学改进的重中之重，这包括两个方面的内容：一是在专业人才培养方案中应明确学生通过本专业学习所应掌握的专业知识和专业技能，而专业技能中就应该明确包含本专业需要学生掌握哪些数学方法，通过这些数学方法的学习对于其从事本专业的相关工作有何帮助；同时，在新生专业导入的过程中，还应详细向学生解读概率论等数学知识作为“必修”课程的原因，从而帮助学生正确认识文科院校管理类专业也必须学习高等数学知识的理由；二是在概率论课程教学大纲的制定上，应根据不同专业的特点，明确本专业学习概率论课程的目的，例如会计学专业和市场营销专业的概率论课程教学大纲，在教学目的上应该是不完全相同的，这样使得教师在对不同专业学生进行概率论课程教学时能够做到有的放矢，选择更符合专业特点的教学方式和教学案例。只有通过这样的方式，才能让学生真正认识到学习概率论等高等数学课程的原因，促进其提高自身的学习动力。

22结合专业案例教学，促使学生理论联系实践

大部分教师对概率论课程的教学方式依然是类似于传统数学课程的教学方式，即理论推导结合教材所给出的案例进行分析。但教材给出的案例并不会根据不同专业而有所区别，都具有普遍性，对于文科学生而言，理论推导本身就较为枯燥，而案例又是长期不变且与自身专业联系不紧密，学习起来就显得更加没有兴趣。因此，教师在进行教学的过程中，应主动找寻一些与所教授专业相关的案例，从而促使学生能够将所学的概率论知识和自身的专业知识有效地联系起来。或者，概率论课程的教师也可以与该专业的专业课教师合作，来共同完成一些知识的教学。例如对于市场营销专业而言，营销专业课教师在介绍市场细分的方法以及客户群体归类的时候，可以适当介绍概率论和统计学知识在其中的作用。与此同时，概率论课程的教师则以这些案例为基础，向学生具体讲解如何利用概率论与统计学知识对市场客户进行细分和归类。通过这样的方式，学生既能够很好地接受概率论课程的知识，也能够将理论和实践联系起来，从而提高其专业技能和专业水平。

23开展教师课程试讲，实施学生选课选师

目前大部分高校都实施了学生选课的制度，但对于概率论这样的必修课，仍然是指定教师承担某专业的课程，学生的选课只是一种形式。通过调研发现，即便是文科学生，本身对概率论这样的数学知识并不特别排斥，对于书本上与专业相关性不大的案例也不会特别不满意，但对于教师的教学风格要求较高。对此条件允许的情况下，学校可以开展任课教师课程试讲，由学生选课和选师的方式，可以采取教师课程试讲的方式，即在最初的课程当中，通过教师的一到两次试讲，由学生听课之后来决定到底选择听哪位老师的课。或者学校安排好每个专业的任课教师，学生在听过一两次课后，如果发现确实无法适应该老师的教学风格，则可以申请到其他教师的班级听课，从而便于学生能够找到更合适的教师和教学风格，促进学生对概率论课程知识的学习。

3结论

在文科院校管理类专业的概率论课程教学中，应针对文科学生的特点，选取适合学生专业的案例，结合概率论的基本理论和知识，才能确保学生更好地学习概率论的相关知识， 当然，文科学生在概率论等数学类课程方面的困难以及对这类课程的学习态度，还需要进一步通过调研分析，才能提出更好的有针对性的教学改革方案。

参考文献：

概率论论文 篇4

杨向群的业绩受到党和政府的尊重、学界的推崇。他先后被推选为第七届全国人大代表、第七、八届国家自然科学基金会数学学科评审组成员、湖南数学学会副理事长等。

步入了浩瀚的知识殿堂

杨向群原名杨广通，又名杨超群，1939年9月23日出生于湖南省蓝山县古城乡古城村一个农民家庭。他5岁入基圣小学，天资聪颖，学习成绩优异。进六里小学读高小时丧父，家贫，不得不辍学。他酷爱学习，想继续读书，竟以高小肄业考取蓝山县立中学。他刻苦攻读，全面发展，尤以数学成绩突出。1953年考取郴州市一中，编入高14班，任班学习委员、团支部宣传委员，先后获“三好学生”称号、学校全面发展奖章、校作文比赛一等奖、全市数学竞赛一等奖等。

1956年参加高考，杨向群以优异成绩考取全国重点大学南开大学，攻读数学专业。这所学校曾是周恩来、邓颖超的母校，具有光荣的革命传统，而且师资力量很强，学习环境好。当时，南开大学有许多我国著名的数学家，如吴大任、胡国定、邓汉英、周学光，以及刚从苏联莫斯科大学攻读概率论，学成回国的王梓坤博士等。王梓坤讲授概率论出神入化，深深地吸引了杨向群，并培养了他后来对整个数学的热爱和执著。1961年，他由本科毕业直升该校数学系的概率论与数理统计的研究生，在导师王梓坤的指导下，从事马尔可夫过程的研究，从此奠定了他终身从事概率论研究的人生道路。

王梓坤是与陈景润齐名的数学家。他是第一个将马尔可夫过程引入我国，并进行系统研究的人，后� 他为青年教师和本科生开设概率论基础及其应用课程，培养、造就了概率论的教学和科研队伍。杨向群在这所著名的高等学府和这位名师的指导下，开展研究工作，如鱼得水。他逐步掌握了科学理论研究思维方式，并善于在纷繁复杂的问题体系中抓出主要问题。

杨向群思路开阔，表现出非凡的才华。从1964年开始，他的《一类生灭过程》《关于生灭过程构造论的注记》《柯氏向后微分方程的边界条件》《可列马氏过程的积分型泛函和双边生灭过程的边界性质》《生灭过程的性质》《双边生灭过程》等6篇论文相继在《数学学报》《数学进展》《南开大学学报》上发表，并被美国数学学会译成英文收录在美国的《概率论与数理统计论文选集》中。这些论文的发表和收录，让他在数学领域里引起了同行们的瞩目。当时湖南一位年轻的大学教师读了这些论文后，很受教育和启发，多次向杨向群求教并索取相关资料，若干年后，他也成了研究马尔可夫过程的著名学者。

下放仍坚持研究概率论

1965年，杨向群在南开大学研究生毕业，分配到江西师范学院任教，旋即被派往农村搞“四清”工作。

1968年11月，由于“文革”的原因，江西师范学院的教师被下放农村，杨向群来到江西省贵溪县志光公社横田大队插队落户。当时他还未成家，单身一人，便与同时下放到这里的10多名十五六岁的知识青年组成新家。这群孩子名为知识青年，实际上连初中生的水平都没有。他们是“文革”初期的红卫兵，只会冲冲闯闯，打打杀杀，既没有劳动技能，更没有劳动习惯。杨向群成了“孩子王”，每天带领他们下地干活，推独轮车送肥，出完集体工后，再带着他们回来种菜、做饭。这群在城市中长大、娇生惯养的孩子吃不消，闹情绪。杨向群一到公社开会或外出办事，他们就闹事闯祸。杨向群考虑到实际情况，与公社、大队干部研究，将他们转到养猪场种菜、喂猪。养猪场有专人做饭、烧茶水，干活单纯，也便于管理。杨向群想，现在这段时间对这群孩子来说，应该是学文化长知识的最好时期，如果耽误，实在可惜。于是他利用农闲，组织他们进行学习。

身体瘦弱的杨向群在插队落户的4年多时间里，自己要带头干农活，还要带领跳皮王干好农活，安排他们的生活。后来转到横田大队猪场后，他不但要和这群知青一道去喂猪、种饲料，还要去杀猪卖肉。高等学府培养的出类拔萃的人才干这种体力重活，实在是对人才的摧残。横田大队的干部、社员都很同情杨向群，有个老农对他说：“你在这里受的苦太多了，忍受一下吧，不看重知识分子，不要文化，这种世道不会长久，有一天，会有人把你请出去的。”

杨向群坚信以后党和国家-定会把科学研究工作重新提到日程上来，他感到时间紧迫。他想，现在不抓紧时间搞科研，等到日后要成果又拿不出来，那不很尴尬吗？因此，尽管白天劳动强度大，但到了晚上他就抓紧时间研究概率论。夜深人静，人们熟睡之际，正是他思维活跃之时。他利用回南昌拿换洗衣被什物的机会，到图书馆查阅有关资料，密切注视国际上对概率论研究的动向。在这段时间，他对“构造论里的样本轨道的极限过渡法”进行了研究，解决了寿命为无限的生灭过程的构造，用两种不同的办法来处理两种不同的情况。这些研究为他日后撰写论文，做好了思想和资料上的准备工作。这在当时是要冒很大风险的，轻则扣上“崇洋媚外”的帽子，重则会当作对抗“五七”指示加以批斗。好在他掩饰得很好，晚上挑灯夜战，白天辛勤劳动，谁也没有发现他在默默无闻地做研究工作。

概率论论文 篇5

概率论最早用来研究。但可以推断它还没有完全成功，因为全世界的越开越多，没听说哪家输给过赌徒。不过它的学术地位日益被尊崇，2002年的诺贝尔经济学奖授予以色列心理学家丹尼尔•卡纳曼，他一部分工作就是解决概率论的应用问题。

命运和机会的不可知，在于它的结果不确定。赌徒不知道下一铺开庄还是开闲。概率论不能化不确定为确定，但它可以改变问题的提法。概率论把各种结果的可能性列出，计算它们的概率。在概率论里，大概率就是命运。站在命运一边，就是永远站在大概率这一边。大概率不能保证全中，却会让你多赢。

粗略地了解概率论不困难，困难的是建立概率论的思考方法和习惯。永远站在大概率的一边，谈何容易？人天生是反概率论的动物，面临选择之际，只要直觉做主，人们会表现得很愚蠢――哪怕是训练有素的数学教授。上世纪八九十年代，玛丽莲•瓦•莎凡是吉尼斯世界最高智商纪录(228)的保持人。她的专栏《请问玛丽莲》,专门解答读者的各种问题，350种报纸同时刊登，总发行量达到3600万份。她最有名的问答发生在1990年9月。读者的问题是：“假设某个益智节目的参赛者，可以在三扇门中选择一扇打开，其中一扇门后面是一辆汽车，另外两扇门后面各是一头山羊。主持人当然知道门后面是什么。在参赛者选了一扇门以后，主持人打开剩下两扇门中的一扇，门后面是一头羊，他对参赛者说，‘你要不要改变选择，换另外那扇没打开的门’?参赛者该不该换呢？”

这个问题来自一档真实的电视益智节目。那档节目播出将近27年，一共4500集，留下记忆的就是这个以主持人名字命名的“蒙提霍尔问题”。这个问题看起来蛮无聊的：就剩下两扇门，打开其中一扇，你赢了；打开另外一扇，你输了。答案似乎很明显，不管换不换，赢的机会都是一半一半。

问题是，玛丽莲在她的专栏中说：“选择换的胜算比较大。”

这个回答引来了1万多封读者来信，92%的读者认为玛丽莲错了。其中有1000个博士，许多数学教授。甚至连20世纪最重要的数学家，写过1475篇论文(数学史之最)的保罗•厄尔斯都认为玛丽莲错了。

实际上，玛丽莲是对的。这是一个在16世纪就已经解决，重要但并不复杂的概率问题。当参赛者面对三扇门，进行第一次选择的时候，他获胜的机会是三分之一，他失败的机会是三分之二。换句话说，他没有选的那两扇门，等于三分之二的选中机会。当主持人进行干预，排除掉一扇没有汽车的门后，让参赛者做第二次选择，参赛者完整地获得了三分之二的机会。参赛者获胜的机会提高了一倍。

我初读这个题目时毫无意外地选择错误。一位概率学家说过：“我们的脑袋生来就不是解决概率问题的料。”人们的直觉总是会把貌似简单的表象当真相，不愿意做稍微深入复杂的思考，喜欢简单的算法，喜欢赋予事物简单的因果联系。

另外，概率论里只有可能性或者可能性的大小，没有必然性。哪怕是百分之九十九点九九九的极大概率，最后的结果也会化为乌有。人们的直觉排斥结果的不确定，概率论得不到人们直觉的认同和信赖。大多数人永远不会明确地以概率论的方法思考问题。在这个几乎什么都无法确定的世界上，谁养成概率论的思考习惯，谁就多了八成胜算――用概率论来算。

概率论论文 篇6

关键词：独立随机过程；计数系统；归纳法；保险业

概率论是一门应用非常广泛的学科。在数学史上，它的产生是以帕斯卡和费马在1654年的七封通信为标志的。由于这些信件中所解决的问题多是与有关的点数问题，因此人们总是把概率论的产生归功于这项机遇游戏。但考古学发现告诉我们，游戏早在文明初期就已经存在了，迄今已有几千年的历史，而概率论从诞生至今不过三百余年，这说明并不是概率论产生的决定性条件。在从出现到概率论产生之间的这段“空白”期，必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中。那么这些因素是什么？换句话说，需要具备哪些先决条件，概率论才能得以形成？

一独立随机过程的出现

对概率论而言，两个最主要的概念就是独立性和随机性[1]。概率论是从研究古典概型开始的，它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程。通过对这些过程中出现的问题的解决，概率理论体系才逐渐地建立起来。因此要考察概率论的产生条件，我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解。

事实上，这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了，那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具，将一个或多个趾骨投掷出去，趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性，而每次投掷的结果也互不影响，这与我们今天投掷骰子的基本原理相当，因此趾骨可以被看作是骰子的雏形。但是由于趾骨形状的规则性较差，各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性),所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程。加之趾骨作为一种占卜工具，其本身具有神圣的地位，普通人不可能轻易使用，这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识。

随着社会的进步和文明的发展，骰子变得越来越普遍，不仅数量增多，规则性也日益精良，此时它已不再是一件神圣的器具而逐渐成为普通大众的日常用具。从原理上看，只要一枚骰子是质地均匀的，它就可以产生一系列标准的独立随机过程。这些过程具备良好的性质(独立性、随机性、等可能性),是进行概率研究的理想对象。如果经常接触这些随机过程，就很有可能从中发现某些规律性。实际上，通过对骰子的研究我们确实发现了一些有趣的现象。在考古出土的骰子当中，有一些被证明是用于的工具，它们的形状规则而质地却不均匀，也就是说，骰子的重心并不在其几何中心。可以想像，如果骰子的某一面较重，则其对面朝上的机率就会增大，这种骰子明显是为了时用于作弊。而从另一个角度看，如果古代人知道质地不均匀的骰子产生各个结果的可能性不同，那么他们必定清楚一个均匀的骰子产生任何一个结果的机率是相等的。也就是说，经常从事的人必然可以通过大量的游戏过程，意识到掷骰子所得到的结果具有某种规律性，并且这种规律性还可以通过改变骰子的质地而得到相应的改变。虽然古代人的这些意识还只停留在经验总结的水平上，却不得不承认这是一种最原始的概率思想。

游戏存在的时间之长、范围之广、形式之多令人惊讶。但有如此众多的人沉迷于这种游戏活动，也在客观上积累了大量的可供学者进行研究的随机过程。更为重要的是，

在进行的过程中，或许是受到经济利益的驱使，已经开始有人试图解开骰子的奥秘。意大利数学家卡尔达诺就是其中的一位。他本人是个大赌徒，嗜赌如命，但他却具有极高的数学天分。在的过程中，卡尔达诺充分发挥了他的数学才能，研究可以常胜不输的方法。据说他曾参加过这样一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。那么，赌注下在多少点上最有利？

两个骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别为2～12共11种，从上图可知，7位于此六阶矩阵的对角线上，它出现的概率为6/36=1/6,大于其他点数出现的概率，因此卡尔达诺预言说押7最好。这种思想今天看来很简单，但在当时却是很杰出的。他还以自己丰富的实践经验为基础，写成了全面探讨的《机遇博奕》(LiberdeLudoAleae英译为TheBookofGameofChance)一书，书中记载了他研究的全部成果，并且明确指出骰子应为“诚实的”(honest),即六个面出现的机会相等，以便在此基础上研究掷多粒骰子的等可能结果数[2]。

这些实例充分说明，曾对概率论的产生起过积极的作用。这可能就是人们在谈到概率论时总是把它与联系在一起的缘故吧。但是我们应该认识到，的价值并不在于其作为一种游戏的娱乐作用，而在于这种机遇游戏的过程实际上就是良好的独立随机过程。只有出现了独立随机过程，概率论才有了最初的研究对象。而概率论也的确是在解决机遇游戏中出现的各种问题的基础上建立起自己的理论体系的。因此在概率论的孕育期，可

二先进计数系统的出现

前面曾经提到，独立随机过程的出现并不是概率论诞生的决定性因素。职称论文仅有概率思想而不能将概率结果表达出来，也不能形成完整的理论。概率论是一门以计算见长的数学分支，计算过程中需要运用大量的加法和乘法原理(组合数学原理)进行纯数字运算。对于现代人来说，概率计算并不是一件难事。但是对于16世纪以前的人来说，计算却是十分困难的，原因就在于古代缺乏简便的计数系统。当时的计数符号既繁琐又落后，书写和使用都很不方便，只能用来做简单的记录，一旦数目增大，运算复杂，这些原始的符号就尽显弊端了。而没有简便的计数符号，进行概率计算将是十分困难的事，因此计数符号是否先进也在一定程度上决定着概率论的形成。

对于这一点，现代人可能不容易体会得到，究竟古代的计数符号复杂到什么程度呢？我们可以以古罗马的计数系统为例来说明。

古罗马的计数系统是一种现在最为人们熟悉的简单分群数系，大约形成于纪元前后。罗马人创造了一种由7个基本符号组成的5进与10进的混合进制记数法，即

IVXLCDM

1510501005001000

在表示其他数字时采取符号重复的办法，如Ⅲ表示3,XX表示20,CC表示200等。但如果数字较大表示起来就相当复杂了，比如：1999=MDCCCCLXXXXVIIII

后来为了简化这种复杂的表示法，罗马人又引进了减法原则，即在一个较大的单位前放一个较小单位表示两者之差，如Ⅳ表示4,CM表示900,则1999=MCMXCIX

如果要计算235×4=940,现代的竖式是

而公元8世纪时英国学者阿尔琴演算同一道题的过程则要复杂得多：古罗马数字对于这样一个既不含分数和小数，数字又很简单(只有三位数)的乘法运算处理起来尚且如此复杂，可以想象，即使数学家有足够的时间和耐心，要解决概率计算里涉及的大量纯数字运算也是一件太耗费精力的事。在这种情况下想要作出成果，数学家们的时间不是用来研究理论而只能是忙于应付这些繁重的计算工作了。显然古罗马的计数系统并不适合于进行计算，而事实上，欧洲的代数学相比几何学而言迟迟没能发展起来，很大程度上也是由于受到这种落后的计数系统的限制。不仅仅是古罗马数字，在人类文明史上出现过的其他几种计数系统(如古埃及、古巴比伦等的计数系统)也由于符号过于复杂，同样不能承担进行大量计算的任务。

相反，以位值制为基本原理的阿拉伯数字则比古罗马数字以及古代其他的计数系统要先进得多，它不但书写简便，而且非常有利于加法、乘法的运算及小数和分数的表示。从上面的例子可以看出，它的使用可以大大节省运算时间，提高运算效率。正是由于使用了这种先进的计数符号，阿拉伯数字的发明者———古印度人的组合数学(组合数学原理是概率计算运用较多的一种数学工具)才得以领先欧洲人许多。据记载，印度人，特别是公元前三百年左右的耆那数学家就由于宗教原因开展了对排列与组合的研究。公元四百年，印度人就已经掌握了抽样与骰子之间的关系(比欧洲人早一千二百年)。而直到公元8世纪时，商业活动和战争才将这种先进的数字符号带到了西班牙，这些符号又经过了八百年的演化，终于在16世纪定型为今天的样子。

数字符号的简单与否对概率论究竟有什么样的影响，我们不妨举例说明：

问：有n个人，当n为多少时，至少有两人生日相同的概率大于二分之一？

假设所有人生日均不相同的概率为P,则

P=(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]

而题中所求之概率P(n)=1-P=1-(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]

通过计算得出结论，当n=23时，P(n)=0.51>0.5,因此答案为23。

这是概率论中著名的“生日问题”,也是一种很典型的概率计算问题。从它的计算过程中我们不难看出，数字运算在概率论中占有重要的地位。如果使用古罗马的计数法，这样一个概率问题从表达到计算都会相当繁琐，以至于它的求解几乎是不可能的。

对于阿拉伯数字的伟大功绩，大数学家拉普拉斯(Laplace)有如下评价：“用不多的记号表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义。它是如此绝妙非常，正是由于这种简易难以估量⋯⋯我们显然看出其引进之多么不易。”[3]阿拉伯数字的出现为概率的表达和计算扫清了阻碍，如果没有这些简便的符号，概率论可能还只停留在概率思想的阶段。正是由于使用了可以简洁地表示分数和小数的阿拉伯数字，才使概率思想得以通过形式化的符号清晰地表现出来并逐渐形成理论体系。在概率论的孕育阶段，这种形式化的过程是十分必要的，它使得对概率的理解和计算成为可能，因此先进的计数系统对概率论的形成和发展都起着重要的作用。

三概率论产生的方法论基础———归纳法

除了需要具备上述因素以外，概率论的形成还需要具备归纳思维。概率论是一门具有明显二重性的理论体系：“一方面它反映了从大量机遇现象中抽象出来的稳定的规律性；另一方面它关系着人们对证明命题的证据或方法的相信程度”。[4]这两方面特性都以归纳法作为最基本的研究方法，因此可以说，归纳法是概率论的方法论基础，概率论的产生必须在归纳法被广泛运用的前提下才成为可能。归纳法虽然是与演绎法同时存在的逻辑方法，但在文艺复兴以前，占主导地位的推理方式是演绎思维(不具有扩展性),归纳思维是不受重视的。直到文艺复兴运动以后，这种状况才被打破。归纳法因其具有扩展性而逐渐成为进行科学发现的主导方法。

从演绎到归纳，这个过程实际上是一种思维方式的转变过程，虽然转变是在潜移默化中完成的，但转变本身对概率论的出现却起着决定性的作用。我们可以通过考察“概率论”(probability)一词的词根“可能的”(probable)来说明这种转变。在古希腊“,probable”并不是今天的这个含义，它曾意味着“可靠的”或“可取的”,比如说一位医生是“probable”就是指这位医生是可以信赖的。但到了中世纪，这个词的含义发生了变化，它已经和权威联系在一起了。当时的人们在判断事情的时候不是依靠思考或证据而是盲目地相信权威，相信更早的先人所说的话。在这种情况下，如果说某个命题或某个事件是“probable”,就是说它可以被权威的学者或《圣经》之类的权威著作所证明。而经过了文艺复兴之后，人们终于意识到对自然界进行探索(而不是崇拜权威)才是最有价值的事，正如伽利略所说的那样：“当我们得到自然界的意志时，权威是没有意义的。”[5]因此，“probable”才逐渐与权威脱离了关系。15、16世纪时它已经具有了今天的含义“可能的”,不过这种可能性不再是权威而是基于人们对自然界的认识基础之上的。

“probable”一词的演化体现了人们认识事物方式的转变过程。当然这并不是说，文艺复兴以前没有归纳思维。留学生论文当一个人看到天黑的时候他会自然想到太阳落山了，因为每天太阳落山后天都会黑。这种归纳的能力是与生俱来的，即使中世纪的人们思想受到了禁锢，这种能力却还不至消失。而抛弃了权威的人们比先辈们的进步之处在于，他们是用归纳法(而不是演绎法)来研究自然界和社会现象的。他们将各种现象当作是自然或社会的“特征”,进而把特征看作是某种更深层的内存原因的外在表现。通过使用归纳推理进行研究，他们就可以发现这些内在原因，从而达到揭开自然界奥秘和了解社会运行规律的目的。于是在好奇心的驱使之下，归纳思维被充分地激发出来。而这一点恰恰是概率论得已实现的必要条件。从概率论的第一重特性中可以看出，概率论所研究的对象是大量的随机现象，如游戏中掷骰子的点数，城市人口的出生和死亡人数等等。这些多数来自于人们社会活动的记录都为概率论进行统计研究提供了必须的数据资料。虽然这些记录的收集与整理其目的并不在于发现什么规律，但善于运用归纳思维的人却能从中挖掘出有价值的研究素材。例如，早在16世纪，意大利数学家卡尔达诺就在频繁的过程中发现了骰子的某些规律性并在《机遇博奕》一书中加以阐述；17世纪，英国商人J·格龙特通过对定期公布的伦敦居民死亡公告的分析研究，发现了死亡率呈现出的某种规律性[6];莱布尼兹在对法律案件进行研究时也注意到某个地区的犯罪率在一定时期内趋向于一致性。如果没有很好的归纳分析的能力，想要从大量繁杂的数据中抽象出规律是不可能的。而事实上，在17世纪60年代左右，归纳法作为一种研究方法已经深入人心，多数科学家和社会学家都在不自觉地使用归纳的推理方法分析统计数据。除了上述两人(格龙特和莱布尼兹)外，统计工作还吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批优秀学者。正是由于许多人都具备了运用归纳法进行推理的能力，才能够把各自领域中看似毫无秩序的资料有目的地进行整理和提炼，并得到极为相似的结论：随机现象并不是完全无规律的，大量的随机现象的集合往往表现出某种稳定的规律性。概率论的统计规律正是在这种情况下被发现的。

概率论的第二重特性同样离不开归纳法的使用。既然概率论反映的是人们对证明命题的证据的相信程度(即置信度),那么首先应该知道证据是什么，证据从何而来。事实上，证据的获得就是依靠归纳法来实现的。在对自然界特征的认识达到一定程度的情况下，人们会根据现有的资料作出一些推理，这个推理的过程本身就是归纳的过程。当假设被提出之后，所有可以对其合理性提供支持的材料就成了证据，即证据首先是相对于假设而言的。如果没有归纳法的使用，证据也就不存在了。由于归纳推理在前提为真的情况下不能确保结论必然为真，因此证据对假设的支持度总是有限的。在这种情况下，使用归纳推理得到的命题的合理性便不能得到充分的保障。而概率论的第二重特性就是针对这个问题的，证据究竟在多大程度上能够为假设提供支持？这些证据本身的可信度有多少？为解决归纳问题而形成的概率理论对后来的自然科学和逻辑学的发展都起到了重要的作用。

归纳法的使用为概率论的形成提供了方法论基础。它一方面使得概率的统计规律得以被发现，另一方面，也使概率论本身具有了方法论意义。从时间上看，概率论正是在归纳法被普遍运用的年代开始萌芽的。因此，作为一种具有扩展性的研究方法，归纳法为概率论的诞生提供了坚实的思维保障和方法论保障，在概率论的形成过程中，这种保障具有不容忽视的地位。四社会需求对概率论形成的促进作用

与前面述及的几点因素相比，社会因素显然不能作为概率论产生的内在因素，而只能被当作是一种外在因素。但从概率论发展的过程来看，作为一种与实际生活紧密相关的学科，其理论体系在相当大的程度上是基于对社会和经济问题的研究而形成的，因此对实际问题的解决始终是概率理论形成的一种外在动力。在这一点上，社会因素与概率理论形成了一种互动的关系，它们需要彼此相结合才能得到各自的良好发展。从17、18世纪概率论的初期阶段来看，社会经济的需求对概率论的促进作用是相当巨大的[7]。

在社会需求中，最主要的是来自保险业的需求。保险业早在奴隶社会便已有雏型，古埃及、古巴比伦、古代中国都曾出现过集体交纳税金以应付突发事件的情形。到了14世纪，随着海上贸易的迅速发展，在各主要海上贸易国先后形成了海上保险这种最早的保险形式。其后，火灾保险、人寿保险也相继诞生。各种保险虽形式各异，但原理相同，都是靠收取保金来分担风险的。以海上保险为例，经营海上贸易的船主向保险机构(保险公司)交纳一笔投保金，若货船安全抵达目的地，则投保金归保险机构所有；若途中货船遭遇意外而使船主蒙受损失，则由保险机构根据损失情况予以船主相应的赔偿。这样做的目的是为了将海上贸易的巨大风险转由两方(即船主与保险公司)共同承担[8]。从这个过程中可以看出，对保险公司而言，只要船只不出事，那么盈利将是肯定的；对船主而言，即使船只出事，也可以不必由自己承担全部损失。

从性质上看，从事这种事业实际上就是一种行为，两方都面临巨大风险。而这种涉及不确定因素的随机事件恰恰属于概率论的研究范围。工作总结由于保险业是一项于双方都有利的事业，因此在16、17世纪得到了快速的发展，欧洲各主要的海上贸易国如英国、法国、意大利等都纷纷成立保险公司，以支持海上贸易的发展。此外还出现了专门为他人解决商业中利率问题的“精算师”。不过在保险业刚起步的时候，并没有合理的概率理论为保金的制定提供指导，最初确定投保金和赔偿金的数额全凭经验，因此曾经出现过很长时间的混乱局面。而这样做的直接后果就是不可避免地导致经济损失。例如在17世纪，养老金的计算就是一个焦点问题。荷兰是当时欧洲最著名的养老胜地和避难场所，但其养老金的计算却极为糟糕，以致政府连年亏损。这种状况一直持续到18世纪，概率理论有了相当的发展，而统计工作也日渐完善之后，情况才有所改观[9]。在结合大量统计数据的前提下，运用概率理论进行分析和计算，由此得到的结果才更有可能保证投资者的经济利益。

我们可以举一个人寿保险的例子来说明概率理论是如何应用到保险事业中来的：2500个同年龄段的人参加人寿保险，每人每年1月交投保费12元。如果投保人当年死亡，则其家属可获赔2000元。假设参加投保的人死亡率为0.002,那么保险公司赔本的概率是多少？

从直观上看，如果当年的死亡人数不超过15人，则保险公司肯定获利，反之，则赔本。不过单凭经验是绝对不行的，必需有一套合理的理论来帮助处理此类问题。根据所给条件，每年的投保费总收入为2500×12=30000(元),当死亡人数n≥15时不能盈利。令所求之概率为P,由二项分布的计算公式可以得出P(n≥15)=0.000069。也就是说，如果按以上条件进行投保并且不出现特别重大的意外，则保险公司有几乎百分之百的可能性会盈利。

这个问题就是通过将概率理论运用到关于人口死亡的统计结果之上从而得到解决的。这个简单的例子告诉我们，概率理论对保险业的发展有着相当重要的指导作用。根据统计结果来确定在什么样的条件下保险公司才能盈利是概率理论对保险业最主要的贡献，它可以计算出一项保险业务在具备哪些条件的情况下会使保险公司获得收益，并进而保证保险公司的经营活动进入良性循环的轨道。从另一方面看，最初保险业的快速发展与其不具有基本的理论依据是极不协调的，这很容易导致保险公司由于决策失误而蒙受经济损失。因此保险事业迫切需要有合理的数学理论作为指导。在当时的社会环境下，由科学家参与解决实际问题是非常有效的，而由保险所产生的实际问题确实曾吸引了当时众多优秀数学家的目光。在1700-1800年间，包括欧拉、伯努利兄弟、棣莫弗(deMoivre)、高斯等在内的许多著名学者都曾对保险问题进行过研究，这些研究的成果极大地充实了概率理论本身。

可以说，经济因素和概率理论在彼此结合的过程中形成了良好的互动关系，一方面数学家们可以运用已有的理论解决现实问题。另一方面，新问题的出现也大大刺激了新理论的诞生。概率论的应用为保险业的合理化、规范化提供了保证，正是由于有了概率论作理论指导，保险业的发展才能够步入正轨。反过来，保险业所出现的新的实际问题，也在客观上促进了概率理论的进一步完善。这样，对于概率论的发展来说，保险业的需求便顺理成�

五总结

概率论的产生就像它的理论那样是一种大量偶然因素结合作用下的必然结果。首先，这种机遇游戏提供了一种良好的独立随机过程，在进行的过程中，最原始的概率思想被激发出来；其次，先进的计数系统为概率思想的表达扫清了阻碍，也使得这些思想得以形式化并形成系统的理论。当然在获得概率思想的过程中，思维方式的转变和研究方法的进步才是最根本的关键性条件。如果没有归纳法的使用，即使存在着良好的独立随机过程也不可能使人们认识到大量统计数据中所隐藏着的规律性。此外，社会经济的发展，需要借助数学工具解决许多类似保险金的计算这样的实际问题，而这些吸引了众多优秀数学家们兴趣的问题对于概率论的形成是功不可没的，它大大刺激了概率理论的发展，使概率论的理论体系得到了极大的完善。上述四个因素都是概率论产生的重要条件，但是它们彼此之间并没有明显的时间上的先后顺序，最初它们的发展是各自独立的，但是随后这些条件逐渐结合在一起，使得原本零散的概率思想开始系统化、条理化。从概率论的历史来看，这几种因素的结合点就是17世纪末至18世纪初，因此概率论在这个时间诞生是很自然的事。

了解概率论的产生条件对于我们理解概率论在当今社会的重大意义有很好的帮助。今天，随着概率理论的广泛应用，它已不仅仅是一种用于解决实际问题的工具，而上升为具有重大认识论意义的学科。概率论不仅改变了人们研究问题的方法，更改变了人们看待世界的角度。这个世界不是绝对必然的，它充斥着大量的偶然性，所谓规律也只是在相当的程度上被我们所接受和信任的命题而已。运用概率，我们就可以避免由归纳法和决定论带来的许多问题和争论。科学发现的确需要偶然性，现代科学向我们证明，概率理念和概率方法已�

【参考文献】

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[2]陈希孺。数理统计学小史[J].数理统计与管理，1998,17(2):61-62.

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[7]NeilSchlager.ScienceandItsTimes.Vol4:205-206,Vol5:205-208.GaleGroup,2001.

[8]大美百科全书(第15卷)[M].北京：外文出版社，1990.164.

概率论论文范文 篇7

在教学内容的选编中，所选内容应突出“厚基础”“重应用”的应用型特色。综合考虑学生的就业方向，侧重论述概念、方法、原理的历史背景和现实背景在金融等方面的应用，对于冗长难懂的理论证明可以用直观易懂的现实背景来解释。例如讲解全概率公式时，学生虽可以比较容易地应用，但不容易理解公式的本质，所以并不觉得引入这些公式有什么必要性，大大降低了学生的学习兴趣。但如果在课堂引入“敏感事件调查”这个例子，会对经管类的文科学生具有很强的吸引力， 在介绍贝叶斯公式时，可以根据经管类专业，引入贝叶斯公式应用在风险投资中的例子。在介绍期望的概念时，从游戏介绍概念来源的背景，再将期望用到实际生活中去，可以引入其在投资组合及风险管理等方面的应用。这样能使学生真正理解概率论中许多理论是取之于生活而用之于生活，并能自觉将理论运用到生活中去。在介绍极大似然思想时，可以从学生和猎人一起打猎的案例进行引入。

2设计趣味案例，激发学生学习兴趣2015年1月5日

随着互联网的迅猛发展、电脑的普及、各种游戏软件的开发，很多大学生喜欢在网上玩游戏。教师可以抓住大学生爱玩游戏这一特点，况且概率论的起源就来源于游戏，教师可以在讲授知识时，由一个游戏出发，循循诱导学生从兴趣中学到知识，再应用到生活中去。例如，在讲解期望定义时，可以设计这样的一个游戏案例：假设手中有两枚硬币，一枚是正常的硬币，一枚是包装好的双面相同的硬币(即要么都是正面，要么都是反面，在抛之后才可以拆开看属于哪种)。现在让学生拿着这两枚硬币共抛10次，一次只能抛一枚，抛到正面就可以获利1元钱，反面没有获利，问学生选择怎样一种抛掷组合，才能使预期收益最大？教师留给学生思考的时间，然后随机抽一位同学回答，并解释其理由。大部分学生选择先抛后面那枚硬币，如果发现两面都是正面，那么后面9次都抛这枚，如果是反面，那后面9次都抛前面那枚硬币。这种抛掷组合确实是最优的，但总是说不清其中的道理来。这时教师可以向学生解释，其实大家在潜意识中已经用到了期望，然后利用期望的定义为大家验算不同抛掷组合的期望值来说明大家选的组合确实是最优的，这时学生豁然开朗，理解了期望的真正含义。游戏可以继续，如果将若干个包装好的非正常硬币装入一个盒子里，比如将5枚双面都是反面的、1枚双面都是正面的硬币装入盒子里，学生从中摸一个硬币出来，再和原来那枚正常的硬币一起共抛10次，也可以选择不摸硬币，直接用手中正常硬币抛10次。这个时候，原来那种抛掷组合还是最优的吗；如果再改变箱子中两种硬币的比例，比如9枚双面是反的，1枚双面都是正的，结果又是怎样等等，这些问题可以留给学生课后思考，并作为案例分析测试题。按照上述设计教学案例，不仅让学生轻松学到知识，激发学生学习的能动性，还可以提高学生自己动手解决实际问题的能力，培养学生的创新能力。

3精选实用型案例，引导学生学以致用

如在讲解全概率公式时引入摸彩模型，中奖的概率是否与抽奖的先后顺序有关。利用全概率公式可以证明与顺序无关，大家机会是平等的。又如讲解事件独立性可以引入比赛局数制定的案例，如果你是强势的一方，是采取三局两胜制还是五局三胜制，这个例子也可以用大数定理来解释，n越大，越能反映真实的水平。又如设计车门高度问题，公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0．01以下来设计的：设某地区成年男性身高(单位：cm)X～N(170，36)，问车门高度应如何确定？这个用正态分布标准化查表可解决。合理配备维修工人问题：为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费，配备少了又要影响生产)，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01。在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况)，问至少需配备多少工人，才能保证设备发生故障不能及时维修的概率小于0．01?这样的问题在企业和公司经常会出现，我们用泊松定理或中心极限定理就可以求出。学生参与到实际问题中去，解决了问题又学到了知识，从而有成就感，学习就有了主动性。

4运用多媒体及统计软件进行经典案例分析

在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，需要利用统计软件及现代化媒体技术。其一，采用多媒体教学手段进行辅助教学，可以使教师节省大量的文字板书，避免很多不必要的重复性劳动中，从而教师就可以将更多的精力和时间用于阐释问题解决的思路，提高课堂效率和学生学习的实际效果，有效地进行课堂交流。其二，使用图形动画和模拟实验作为辅助教学手段，可以让学生更直观地理解一些抽象的概念和公式。如采用多媒体教学手段介绍投币试验、高尔顿板钉实验时，可以使用小动画，在不占用过多课堂教学时间的同时，又能增添课堂的趣味性。而在分析与讲解泊松定理时，利用软件演示二项分布逼近泊松分布，既形象又生动。如果在课堂教学中使用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就可将复杂而抽象的定理转化为学生对形象的直观认识，以使教学效果显著提高。在处理概率统计问题过程中，我们经常会面对大量的数据需要处理，可以利用Excel，SPSS，Matlab，SAS等软件简化计算过程，从而降低理论难度。不仅如此，在教师使用与演示软件的过程中，学生了解到应用计算机软件能够将所学概率论与数理统计知识用于解决实际问题，从而强烈激发学生学习概率知识的兴趣。

5结合实验教学，培养学生应用技能

概率论论文 篇8

【关键词】概率论与数理统计；数学建模思想；教学改革

0.引言

概率论与数理统计已经作为一门基础学科，为很多专业课的学习奠定了基础。如西方经济学等等。数学建模就是通过数学知识解决实际问题。将数学建模思想融入到概率论与数理统计课程的教学中，一方面能激励学生学习概率论与数理统计这门课的兴趣，另一方面能更好的联系实际，解决实际问题。对于民办院校来说，这样大大提高了我们的教学水平，增强了的学生的学习能力和竞争能力，为民办院校的长远发展做出了贡献。

1.将数学建模思想融入概率论与数理统计课程教学

1.1课前导入时引入数学建模思想

概率论与数理统计比高等数学、线性代数的难度更深一些，对于学生来说更难以接受，在每一节课前采用启发式，由浅入深，由直观到抽象，使学生真正掌握概率论与数理统计的概念，以便提高学生学习的乐趣。

1.2讲授过程中引入数学建模思想

讲授虽然是主要的教学方式，也可以采用讨论式，适当对一些问题进行讨论，这样可以活跃课堂气氛，激活学生思维，使授课效果更好。

1.3课后作业中引入数学建模思想

布置课外作业为了考察学生对课堂内容的掌握程度，对问题有更深刻的理解，只有把数学方法应用到实践中去，解决几个实际问题，才能达到理解、巩固和提高的效果。

2.将数学建模思想融入概率论与数理统计课程教学的意义

2.1激发学生学习概率论与数理统计的兴趣

现在在学生中存在着这样一个普遍的问题，大多数学生认为学习数学没有任何用处，而且特别枯燥。特别是更抽象的概率论与数理统计，我校目前为止只有信息与工程学院、商学院与国际经济学院开设了概率论与数理统计，而且学时比较少，学生普遍认为学习这门课没有多大的意义，通过数学建模思想的融入，让学生自己去体会他的重要性，激发了学生学习概率论与数理统计的兴趣。

2.2通过数学理论知识解决实际问题

问题一：目前我校有1万多名学生，每天傍晚打开水的人较多，开水房经常出现排长队的现象，应增加多少个水龙头才能解决这种现象？问题二：每天中午吃饭的人较多，饭厅经常出现排队的现象，应增加多少个卖饭窗口才能解决这种现象？以上两个问题大多数学校都存在这种现状，到底如何解决呢，通过将数学建模思想融入概率论与数理统计，就可以解决类似这些问题。

2.3为参加全国大学生数学建模竞赛做准备

在平时的课程中使学生对数学建模有了初步的认识，为每年一次的全国大学生数学建模竞赛做好准备工作，使学生更好的将数学知识应用于实际问题中。去年我校首次参加了全国大学生数学建模竞赛，对于首次参加竞赛的民办院校来说，我们取得了优异的成绩，通过参加全国大学生数学建模竞赛，所有指导老师以及参赛学生受益匪浅，有的人这样来形容自己的感受：一次参赛，终身受益。今年计划继续参赛，并且加大力度，尽量使全校各二级学院的学生都能参与到这项竞赛中来，通过平时课程中引入数学建模思想，为今年的参赛取得更优异的成绩增加筹码。

2.4为毕业论文、毕业设计做好铺垫

将数学建模思想融入概率论与数理统计课程教学，通过课前、课中、课后三部分的引入，已经使学生能解决简单的实际问题，给出自己的解答过程，而数学建模的答卷不是普通意义上的考试，而是以论文的形式阐述自己的观点和解答过程。某种意义上说一份数学建模答卷就是一份毕业论文、毕业设计。这样大大的锻炼了学生查阅资料的能力，写作能力，表达能力。参加过数学建模竞赛的学生，在后续的专业课学习、毕业设计（论文）等方面有良好表现，无论是继续深造还是走上社会工作岗位都有更强的竞争力。

2.5培养学生的创新能力

创新是21世纪的主旋律，培养具有创新精神的人才是实现科教兴国的关键。作为一所民办高校，创新至关重要。而传统的数学教学非常的枯燥无味，学生缺乏主动性，缺乏应用数学知识去解决实际问题的能力。而数学建模思想可以培养学生的创造能力、联想能力、洞察力、数学语言的表达能力等。

3.对于民办院校将数学建模思想融入概率论与数理统计课程教学面临的问题以及对应措施

我校作为一所民办院校，各个体系还不够完善，学生的整体水平相对比较低，把数学建模思想融入到概率论与数理统计课程的教学中，培养学生的创新能力，团队合作能力，还是需要一段时间的。为了更好的把数学建模思想融入到概率论与数理统计课程的教学中，我们还需做以下的努力：首先学校领导要大力支持这项工作的开展，加大与其它学校在这方面的交流，多向其它兄弟院校学习。其次教师要提高自己的教学水平，拓展自己的知识领域，并在以后的教学中，把数学建模思想融入到更多课程的教学中，例如高等数学，线性代数课程等等。而民办院校的学生底子稍微差一些，老师在讲授的过程中要有足够的耐心，要对自己的学生有信心。最后学生要从思想上对数学有一个正确的认识，做到不卑不亢，对于那些对数学感兴趣的学生，学校可以开设数学实验，数学建模等选修课供学生选择。

4.结束语

通过大家持之以恒的努力，不仅将数学建模思想融入到概率论与数理统计课程的教学，还要继续将数学建模思想融入到高等数学课程的教学以及线性代数课程的教学。通过数学教学的改革，不仅可以提高学生的数学素� 　[科]

【参考文献】

［1］姜启源。数学模型(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003：273.

［2］盛骤，等．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2002．

［3］洪永成，李晓彬。搞好数学建模教学提高学生素质[J].上海金融学院学报，2004,3.

［4］廖玉怀。浅析如何在高等数学教学中渗透数学建模思想。中国校外教育[J].2009，4：103.

概率论论文 篇9

对传统的概率论与数理统计教学进行归纳，大致是：理论知识+说明举例+解题+考试。这种教学模式可以让学生掌握基础知识，提升计算能力，也有利于解决课后习题。但这种教学模式也有一定的缺陷，不难看出，它与实际脱离较大，更多地停留在书本上。学生掌握了理论知识，未必会将其运用到实际，这违背了素质教育的宗旨，不利于学生学习积极性的提高。运用数学建模的指导思想，可以有效避免传统教学模式的缺陷。数学建模的一个重要功能就是培养学生理论联系实际的能力。将数学建模思想融入教学，是概率论与数理统计教学的需要，也是顺应教学改革的需求。

二、数学建模思想融入课堂教学

教师在讲授概率论与数理统计课程时，面临着非常重要的任务。如何让学生通过学习增强对本课程的理解，并将知识合理地运用到实践中，是摆在教师面前的问题。教师要将数学建模思想合理地融入到课堂。

（一）课堂教学侧重实例

概率论与数理统计课程是运用性很强的一门课程。因此，将教学内容与实例想结合，可以有效提高学生的理解力，加深学生对知识点的印象。例如，在讲授概率加法公式的时候，可以用“三个臭皮匠问题”作为为实例。“三个臭皮匠赛过诸葛亮”是对多人有效合作的一种赞美，我们可以把这个问题引入到数学中来，从概率的计算方面验证它的正确性。首先可以建立起数学模型，三个臭皮匠能否赛过诸葛亮，主要是看他们解决实际问题的能力是否有差距，归结为概率就是解决问题的概率大小比较。不妨用C表示诸葛亮解决某问题，Ai表示第i个臭皮匠单独解决某问题，其中i=1,2,3，每个臭皮匠解决好某问题的概率是P（A1）=0.45，P（A2）=0.55，P（A3）=0.60，而诸葛亮成功解决问题的概率是P（C）=0.90。那么事件B顺利解决对于诸葛亮的概率是P（B）=P（C）=0.90，而三个臭皮匠解决好B问题的概率可以表示成P（B）=P（A1）+P（A2）+P（A3）。解决此问题的过程中，学生既感受到了数学建模的乐趣，也在轻松的氛围中学习到了概率知识。这种贴近实际生活的教学方式，不但可以提高学生学习概率的积极性，也可以增强教师从事素质教育的理念。

（二）开设数学实验课

数学实验一般要结合数学模型，以数学软件为平台，模拟实验环境进行教学。发展到今天，计算机软件已经很成熟，一般的统计计算都可以由计算机软件来完成。SPSS、SAS、MABTE等软件已经广泛得到了运用，较大数据量的案例，如统计推断、数据模拟技术等方面的问题，都可以用这些软件来处理。通过数学实验，不但可以体现数学建模的全过程，还能增强学生的应用意识，促使他们主动学习概率论与数理统计知识。学生通过软件的学习与运用，增强了动手能力，解决实际问题的能力也会有所增强。

（三）使用新的教学方法

众所周知，传统的填鸭式的教学方法很难取得好的教学效果，已经不适应现代教学的要求。实践证明，结合案例的教学方法可以由浅入深，从直观到抽象，具有一定的启发性。学生可以从中变被动为主动，加深对知识的理解。这种教学方法还能让学生的眼光从课堂上转移到日常生活，进行发散思维，学生会进一步发挥主观能动性，思考如何将实际问题数学化，如何结合概率论与统计知识解决实际问题，等等。在这种情况下，学生的兴趣提高了，教学效率自然也会得到提高。

（四）建立合理的学习方式

概率论与数理统计教学不能一味地照本宣科。数学建模并无固定模式，它需要的更多是技能的综合。教师在实际教学过程中，不应该以课本为标准，而应该多引导学生自主解决实际问题，让学生去查阅相关背景资料，以提高其自学能力。教师可以适当补充一些前言的数学知识，让一些新观念和新方法开阔学生的视野。在处理习题问题上，教师要适当引入一些不充分的问题，而不是仅仅局限于条件比较充分的问题上，要让学生自己动手分析数据、建立模型。教师应该经常开展专题讨论，引导学生勇于提出自己的见解，加强学生间的交流与互助。例如，在讲授二项分布知识时，为了加深学生对知识的领悟，教师可以用“盥洗室问题”为实例来讲授二项式的实际运用。问题：宿舍楼内的盥洗室处于用水高峰时，经常要排队等待，学生对此意见很大。学校领导决定把它当作一道数学题来解答，希望学生能从理论上给出合理的解决方法。分析：首先收集基本的资料，盥洗室有50个水龙头，宿舍楼内有500个学生，用水高峰期为2小时（120分钟），平均每个学生用水时间为12分钟，等待时间一般不超过12分钟，但经常等待会让学生失去耐心。学生希望100次用水中等待的次数不超过10次。解决方法：设X为某时刻用水的学生人数，先找到X服从什么分布。500个学生中，每个学生的用水概率是0.1，现在X人用水，与独立实验序列类似，比较适合用二项分布，因此设X服从二项分布，n=500，p=0.1，用概率公式表示为P（X=K）=CKnPK（1-P）n-K。接下来计算概率，主要关注不需要等待的概率（即X<50），P（X<50）=∑49K=0CKnPK（1-P）n-K，这个二项式分布是一个初步的模型，可按二项分布来计算。由于n较大（n=500），直接用二项分布计算过于复杂，我们可以利用两种简化近似公式来计算（泊松分布和正态分布）。经过查正态分布表，我们可以算出x=58，这说明水龙头的个数在59～62这个范围时，学生等待的时间概率比较合理。

三、课后练习反馈数学建模思想

数学课程离不开课后练习，课后作业是其重要的组成部分，对于巩固课堂知识、进一步理解所学理论具有重要作用。因此，教师要把握好课后练习环节。概率论与数理统计这门课涉及到很多随机试验，一般的统计规律都需要在随机试验中找到结果。例如通过投掷骰子或硬币可以理解频率与概率的关系，通过双色球的抽样可以理解随机事件中的相互独立性，统计一本书上的错别字可以判断其是否符合泊松分布等。通过亲自做实验，学生们不但能探求到随机现象的规律性，还能进一步巩固所学的统计理论。除了一般的练习题以外，教师可以适当增加一些与日常生活密切相关的概率统计题目，这些题目往往趣味性较强。例如，在知道的抽奖方法和中奖规则后，可以明确三个问题：（1）摸的次序与中奖概率是否相关？（2）假如的总量是100万张，则一、二等奖的中奖概率是多少？（3）一个人打算买，在何种情况下中奖概率大一些？这种课后练习对于学生趣味的提高很有帮助。

四、考核方式折射数学建模思想

作为一门课程，肯定需要考核，这是教学过程中的一个必然环节。课程考核是评估教学质量的重要方式。概率论与数理统计课程传统的考试一般采用期末闭卷考试，教师通常按固定的内容出题。这种情况下，学生为了应付考试，会把很多精力都用在背诵公式和概念上面，从而会忽视知识的实际运用。学生的综合成绩虽然也包括平时成绩，但期末闭卷考试往往占据很大比例。就是是平时成绩，其主要还是考核学生课后的习题完成情况。因此，考核实际就成了习题考试。对于学生在课后的实验，考核中往往很少涉及。这会导致学生逐渐脱离日常实际，更注重课堂考勤和作业。要改变这种情况，有必要改变传统的考核方式。灵活多变的考核方式才更有利于调动学生的积极性，激发他们各方面的潜能。考核可以适当增加平时成绩所占的比重，比如，平时成绩可以占总成绩的30%以上。平时成绩主要采用开放性考核，由课后实验或课外实践组成。教师可以提出一些实践问题，让学生自主去解决。学生可以单独完成任务，也可以组队进行，最后提交一份研究报告，教师在此基础上进行评定。

五、结语

在教学环节融入数学建模思想，有利于培养学生学习兴趣的提高，也有利于学生利用所学知识处理随机现象问题，这已经被教学实践所证明。随着21世纪知识经济和信息时代的到来，随机现象的理论方法运用越来越广泛，概率论与数理统计课程的重要性愈发突出。在教学环节融入建模思想，充分体现了概率论与数理统计的实用性，也使学习该课程的学生加深了课程的理解能力。随着教学实践的不断深入，这种教学方式还将进一步完善，不断搭建起概率统计知识与实际应用相结合的平台。