《椭圆及其标准方程（优秀2篇）》

作为一位杰出的老师，总归要编写教学设计，教学设计是教育技术的组成部分，它的功能在于运用系统方法设计教学过程，使之成为一种具有操作性的程序。那么你有了解过教学设计吗？下面是小编精心为大家整理的椭圆及其标准方程（优秀2篇），希望能够给予您一些参考与帮助。

椭圆方程的解法浅析 篇1

摘 要：在高中阶段，解析几何是数学中的一个重点和难点，而椭圆则又是解析几何中的一个重点。文章就如何学好椭圆方程，总结了一系列的解法。

关键词：数学 椭圆方程 解法

在高中阶段，解析几何是一个重点和难点，而椭圆则是解析几何的一个重点，在刚刚学习椭圆时，对于怎样求椭圆的方程，绝大多数同学会觉得比较困难，其实求椭圆方程关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用，熟悉椭圆的标准方程和相关性质，进行对椭圆方程的求解，那么求椭圆方程的常见方法有哪些？通过十几年的教学，我对它进行了总结，常见的有以下几种方法。

方法一：直接利用椭圆的定义求椭圆方程。椭圆有第一定义和第二定义，用这两种定义在不同的条件下用不同的方法求椭圆的方程。

例1：已知动圆M过定点A（－3，0），并且在定圆B：（x-3）2+y2=64的内部与其相切，求动圆圆心M的轨迹方程。

分析：根据圆的性质和椭圆的第一定义进行处理，注意轨迹和轨迹方程的区别。

解：定圆B的圆心是（3，0），半径是8

设动圆M与定圆B内切与点C，则点M，B，C三点共线且MB+MC=8，所以MB+MA=8，即动点M到两个定点A，B的距离的和为常数8（大于AB=6）。

则点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a=8，2c=6，所以a=4，c=3，b2=a2-c2=7，动圆圆心M的轨迹方程是+=1。

例2：求中心在原点，过点1，， 一条准线为-4=0的椭圆方程。

分析：直接利用椭圆的第二定义进行处理。

解：设椭圆右焦点为F（c，0），d为1，到椭圆右准线的距离，则=． 即= ①

曲准线方程为x==，得=c ②

②代入①，化简得c1=，c2=，

解得c1=，c2=，代入②及a2=b2+c2，得a12=4b12=1，a22=b22=.

所求椭圆的方程为+y2=1，+=1．

方法二：用待定系数法求椭圆方程。待定系数法是用椭圆方程中的待定系数如a，b，c等先看成已知，后根据条件解出a，b，c等。

例3：已知椭圆的中心是坐标原点，对称轴是坐标轴，一个焦点为（2，0），且经过点M（2，），求这个椭圆的标准方程。

分析：根据已知条件把椭圆假设成标准方程的形式。

解：椭圆的焦点在x轴上

设它的标准方程为+=1（a＞b＞0）

椭圆的中心是坐标原点，一个焦点为（2，0）

椭圆另一个焦点为（-2，0）

由椭圆的定义可知

2a=+=6

a=3

c=2， b2=a2-c2=9-4=5

所求的椭圆的标准方程为+=1

例4：已知椭圆经过点（-，）和（，），求此椭圆的标准方程。

解：设椭圆的标准方程+=1（m＞0，n＞0，m≠n）

则有+=1+=1，

解得m=6，n=10。

所以，所求椭圆的标准方程为+=1

方法三：利用新设定适当的坐标系求椭圆的方程。这方法一般原题目没有坐标系，要求自己设定适当的坐标系进行解题。

例5：已知三角形的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．

分析：本题要注意一定要设最合适的坐标系，使得解题变得最简单。

解：以BC边所在直线为x轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系

设Ｇ（x，y），由GC+GB=×30=20

知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，

长轴长为20的椭圆且除去x轴上的两顶点

则方程为+=1（y≠1）

例6：如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）。

解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，

则a-c＝OA－OF2＝F2A＝6371＋439＝6810

a+c＝OB－OF2＝F2B＝6371＋2384＝8755

解得a＝7782.5，c＝972.5，b===≈7722

卫星运行的轨道方程为+=1

方法4：中间变量代换法求椭圆方程。一般在椭圆上的点的坐标设而不解，大多情况要用根和系数的关系对已知条件进行适当的运算和处理，而处理的方法基本多有固定的方法。

例7：若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程。

解：椭圆的方程ax2+by2=1，

A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.

由x+y=1ax2+by2=1消去y得（a+b）x2-2bx+b-1=0，

=，=1-=,

M（，），

由kOM=得b=a ①

又OAOB，x1x2+y1y2=0，

即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0，2x1x2-（x1+x2）+1=0，

-+1=0， a+b=2 ②

联立①②得a=2（-1），b=2（-1）

方程为2（-1）x2+2（-1）y2=1.

方法5：利用椭圆系求椭圆方程。对于椭圆方程中，一些具有共同特点的可以用统一的方程来求解，例如具有共同的焦点，共同的离心率，焦点不确定在哪一个轴等，都可以利用椭圆系求椭圆方程这里就不再举例。

其实，中学求椭圆的方法还有其他方法，但主要的方法我认为是上面的几种，这几种方法包含大多数求椭圆方程的情况，还有不全的地方请同行指正。

作者单位：江苏省建湖县职业技术教育中心

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

椭圆及其标准方程 篇2

中图分类号：G633.6

【案例背景分析】

《椭圆及其标准方程》一课是新课标中职人教版的内容，是在学生已经初步认识曲线与方程、直线的方程、圆的方程的基础上学习的。

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程。椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用。先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然。学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的。

教材从学生熟悉的圆的定义出发，通过实际操作活动：准备2颗图钉及一根定长绳子做圆和做椭圆，对比圆的定义及利用定义作图过程，给椭圆下定义求出其标准方程。让学生应用所学的知识去解决学生身边的、生活中的问题，体会数学与生活的密切联系，产生学习数学的兴趣，感受成功的喜悦。安排此课，给学生们创设一种自主探究的学习氛围，让学生在探究问题――探索问题――发现问题――解决问题。

【案例描述】

1、 创设情景，引出课题――椭圆定义及其标准方程。

问：我们以前学习过圆，请同学们回忆一下圆的定义。

答：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。

问：能否利用手头的工具和圆的定义画圆？（课前要求学生每人准备一块硬纸板，两颗图钉及一根定长绳子）谁上黑板来演示呢？

问：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？

答：椭圆。

（黑板上写出课题：椭圆定义及其标准方程）

问：大家看，椭圆是一个很美的图形，生活中你在哪里见过椭圆的这种曲线，能否举例呢？

答：地球运动轨迹，……等等。

2、 通过实验，自主探究，椭圆的定义以及椭圆的标准方程。

问：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活实践中找到它的应用，下面我们能否结合圆的定义以及圆的画法给出它的定义呢？

答：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。

（教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义，强调常数必须大于两定点的距离。）

问：已经知道椭圆的定义，下面我们要来研究椭圆的标准方程，求曲线的方程有哪些基本步骤？

答：建、设、限、代、化。

问：“建”即建立直角坐标系。如何建立直角坐标系？你认为如何建立坐标系比较合适？

观察椭圆图形的特点，椭圆是不是对称图形？

答：是。

问：“化”，如何化简两个代根号的）●（式子？

①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项。化简、整理得到

这种形式我们认为还不够简洁，因为2a>2c，即a>c，所以>0即 是一个正常数，如果把 表示成一个字母的形式，那么方程就简洁多了，那么你认为如何设这个正常数更合理呢？（改变动点P（x，y）的位置观察 在图中的几何意义）

我们可以设 （b>0）

师板书：椭圆的标准方程：焦点在x轴上：

问：焦点在y轴上的椭圆标准方程是什么？你能类比得到吗？

答：x与y互换即得。焦点在y轴：

问题8：焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆标准方程有何共同点和不同点？

学生总结规律：共同点：左边是平方和，右边是1。

不同点：焦点在x轴的椭圆― x项分母较大

焦点在y轴的椭圆― y项分母较大

练习巩固（课件出示，生口答）

（一）以下关于曲线的方程表示椭圆吗？

（二）写出下列椭圆方程中a，b，c 的值，并指出焦点所在位置

（三）根据下列条件写出椭圆方程

（1）a=5，c=3，焦点在x轴的椭圆

（2）b=1，两个焦点的坐标分别为（0，2）、（0，-2） 的椭圆

（3）焦距为6，且椭圆上一点到两焦点距离的和是10

师：由此题可得出规律，应先定位（即确定焦点位置），再定量。

本节小结：

问：本节课都学到了什么？

生先答，师再补充：1个定义――椭圆定义

2个公式――焦点在x轴上椭圆标准方程焦点在y轴上椭圆标准方程

结束语：今天我们知道了椭圆的定义，椭圆的两种标准方程，c与焦距有关a，b与椭圆有什么关系呢？椭圆有哪些性质呢，下节课研究。

【案例反思】

1、通过动手画椭圆，感受椭圆形成过程，从而找到椭圆形成的本质特征，并进一步培养了学生动手操作能力和小组合作意识。

2、本节课突破了为什么要把“焦距”和“常数”设为2c和2a？而不设为c和a？以及为什么令a2-c2=b2和为什么要规定”b>0，通过图形展示，增加直观性，更好的帮助学生理解了a，b，c的几何含义以及上述设法的合理性。

3、通过动笔推导，化简两个根号，提高学生了运算能力。

4、本节课，学生在教师和同伴的帮助下，亲身经历了“问题――探索――发现――解决问题”的多次循环的探究过程，实现“为什么”、“怎么办”的思维启迪，从而达到开发智力、发展能力的目的。所以，在我们的日常教学中，不仅要培养学生解决问题的能力，更要注意培养学生发现问题和提出问题的能力。